UMAR KHAYYAM

BIOGRAFI:

Adalah Umar Khayyam, seorang yang dikenal sebagai ilmuwan yang mempunyai kemampuan bersyair yang tinggi. Siapakah dia sebenarnya? Nama lengkapnya adalah Ghiyatuddin Abul Fath Umar Ibnu Ibrahim Al Khayyami. Khayyam artinya adalah pembuat kemah. Ia lahir di Naisaphur, ibukota provinsi Khurasan pada sekitar tahun 429 H / 1038 M. Dia dikenal oleh khalayak sebagai orang Persia, sehingga terkenal dengan sebutan "Penyair Persia". Tetapi, nenek moyangnya adalah orang Arab dari suku Khayyami yang bermigrasi (pindah) dan menetap di Persia. Hidupnya al-Khayyam sezaman dengan penguasa Nizham Al Mulk Tusi.

                Al-Khayyam sebenarnya seorang matematikawan (ahli matematika) yang mempunyai bakat syair tinggi. Oleh karenanya, selain menekuni matematika, ia juga membuat syair, yang justru karena syair itulah ia lebih terkenal di Barat sebagai seorang penyair kawakan dari Timur (Persia). Setelah menulis kitabnya dalam bidang matematika dan syair, serta mengarungi kehidupannya, akhirnya ia meninggal di Naishapur sekitar tahun 517 H / 1123 M. Di Naishapur inilah ia dimakamkan, dan banyak orang dari berbagai tempat menziarahi pusaranya.

            Sejak awal, al-Khayyam mengenyam pendidikannya di Naishapur, tanah kelahirannya. Namun, gairah belajarnya tak terbendung hingga ia menuntut ilmu ke beberapa sekolah terkenal di di Bukhara, Balkh, Samarqand, dan Isfahan. Akhirnya, dia tinggal di Naishapur dan Samarqand dalam hampir seluruh usia hidupnya hingga kewafatannya di Naishapur.

Al-Khayyam dikenal sebagai ilmuwan cerdas abad pertengahan. Ia memiliki nama besar di bidang matematika, astronomi, dan sastra. Sehubungan dengan itu, ia mendapat julukan Tent Maker dari para ilmuwan semasanya.

Kecemerlangan nama Umar Khayyam menarik perhatian Sultan Malik Syah. Pada suatu ketika, Sultan menawarkan kedudukan tinggi di istana pada al-Khayyam, namun ditolaknya dengan sopan. Al-Khayyam lebih memilih menekuni dunia ilmu pengetahuan dari pada menjadi pejabat. Akhirnya, al-Khayyam pun diberi fasilitas oleh Sultan. Ia diberi dana yang besar untuk membiayai penelitian khususnya di bidang matematika dan astronomi.

PENEMUAN:

Dalam bukunya, “Risalah fi al-Barshin ‘ala Masa’il al-Jabr wal-Muqabala”, ia memberi klasifikasi persamaan-persamaan menurut derajat dan faktor-faktornya hingga 25 jenis. Sayang, ilmuwan Barat menghubungkan klasifikasi ini pertama kali pada Simon Stevin (1548-1620 M) yang datang belakangan setelah al-Khayyam. Selain itu, sejarawan B. Boyer mengakui pula bahwa Khayyam-lah yang mula-mula memisahkan antara aljabar dengan geometri di dalam kajiannya.

Seperti juga pendahulu-pendahulunya, ia pun menyelesaikan persamaan pangkat dua baik secara aritmetik maupun geometrik. Untuk persamaan pangkat tiga diselesaikan secara geometrik dengan menggunakan perpotongan konik-konik (irisan kerucut). Walaupun metode yang serupa juga digunakan Menaechmus, Archimedes, juga al-Haitham, namun al-Khayyam dipuji karena mampu menggeneralisasikan metodenya tersebut untuk semua persamaan pangkat tiga (yang berakar positif), yang berbentuk . Dari sini, ia menciptakan fenomena absis (x) untuk akar-akarnya, sehingga ada yang menyebut ia-lah sebenarnya peletak dasar geometri analitik, jauh berabad-abad sebelum muncul Rene Descartes (1005- 1060).

Untuk persamaan kubik yang umum, ia menduga bahwa solusi secara aritmetika tidaklah mungkin, sehingga ia hanya memberi penyelesaian secara geometris. Sedang untuk persamaan pangkat lebih tinggi, ia tidak tertarik untuk mengkajinya karena ruang yang kita tempati tidak lebih dari tiga dimensi. Sementara pendahulunya, Abu al-Wafa` telah memberikan penyelesaian geometris untuk beberapa persamaan kuartik (pangkat empat). Dikatakan oleh al-Khayaam: “What is called square-square by algebraists in continuous magnitude is, a theoretical fact. It is does not exist in reality in anyway”.

Walaupun penggunaan irisan kerucut untuk menyelesaikan persamaan kubik telah digunakan oleh Menaechmus, Archimedes, & alhazen (al-Haytham), tetapi al-Kayyam mengambil langkah yang penting dengan menggeneralisasikan metodenya untuk semua persamaan kubik (yang memiliki akar-akar positif).

Berikut ini salah satu halaman dari karya al-Khayyam tentang persamaan kubik.

Persamaan kubik al-Khayyam adalah: x + b x + a = cx , dimana a, b, c, x dipikirkan sebagai panjang beberapa ruas garis. Lukisannya dikerjakan sebagai berikut :

(i)                 Lukis panjang ruas garis AB =  a^2/b^2, dengan melukis terlebih dahulu z = a^2/b  , baru kemudian AB = az/b

 

(ii)               Ikutilah beberapa langkah berikut.

·         Lukis AC = AB + BC, dengan BC = c

·         Lukis setengah lingkaran dengan AC diameter dan buat garis tegak lurus AC di B yang memotong setengah lingkaran di D.

·         Tandai titik E di BD setengah BE =b.

·         Lewat E buat garis EF sejajar AC.

·         Temukan titik G di BC sedemikian hingga (BG).(ED) = (BE).(AB)

·         Temukan titik H sedemikian hingga terbentuk persegi panjang BGHD

·         Melewati titik H, lukis hiperbol ortogonal dengan asimtot EF dan ED (dapat dilukis titik demi titik) yang memotong setengah lingkaran dddi J.

·         Sejajar dengan DB, tarik garis melalui J yang memotong EF di K dan BC di L.

·         Dapat ditunjukkan bahwa panjang ruas garis BL adalah salah satu akar positif dari persamaan kubik tersebut.

Bukti ditunjukkan sebagai berikut:

(1)    Menurut sifat Hiperbol ortogonal : (Dengan menganggap garis EF = sumbu x dan garis

 BD = sumbu y)

, karena dan maka

sedang , sehingga

(2)    , atau luas EKJN = luas ABEP sehingga

…. (i), .  luas ALKP = luas BLJN

(3)    Pada lingkaran berlaku :  … (ii).

(4)    Dari (i) diperoleh:  dan dari (ii) diperoleh:   sehingga:

    atau

(5)   

Jadi BL adalah sebuah akar dari persamaan kubik:

Perlu dicatat disini bahwa penyelesaian geometris  yang diberikan matematikawan Yunani untuk persamaan kubik, koefisien-koefisien berupa ruas-ruas garis, sedangkan al-Khayyam telah menulisnya sebagai bilangan-bilangan yang spesifik. Ini merupakan kecenderungan matematikawan muslim untuk menghilangkan perbedaan antara aljabar numerik dan aljabar geometris. Artinya bahwa ada kaitan antara aljabar numerik dan aljabar geometris.

Dalam kajiannya tentang persamaan kubik, sebenarnya ia telah memberikan landasan bagi perkembangan geometri analitik, yang dimunculkan kembali oleh Rene Descertes (1596-1650). Dalam mencari penyelesaian persamaan kubik tersebut, al-Khayyam telah memunculkan gagasan absis (x) sebagai titik potong antara lingkaran dengan hiperbol orthogonal, untuk menyelesaikan persamaan kubiknya. (perhatikan lagi soal kubik diatas, x = BL). Dengan demikian, al-Khayyam adalah perintis dan peletak dasar gagasan geometri analitik. Hanya disini al-Khayyam tidak menonjolkan penggunaan sumbu-sumbu koordinat dalam penyelesaian persamaan kubiknya.

PENERAPAN:

Meskipun belum dapat membuat rumus (baku) untuk mencari hasil dari suatu persamaan dua (kuadrat), tiga dan pangkat lebih tinggi, tapi prestasi ini mampu menjadi batu loncatan bagi perkembangan matematika berikutnya terutama Lagrange. Dan setelah mengalami perkembangannya, persamaan kubik ini dapat di simpulkan:

ax³ + bx² + cx + d = 0
dengan a tidak nol

Ada 3 cara untuk menyelesaikannya, yaitu:

1.      Difaktorkan

2.      Disederhanakan menjadi bentuk persamaan kuadrat

3.      Menggunakan rumus

Contoh:

1.)    Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ - x² - 6x = 0

Jawab :

x³ - x² - 6x = 0
x(x² - x - 6) = 0
x(x - 3)(x + 2) = 0
x = 0 atau x = 3 atau x = -2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 0, 3}

2.)    Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ - x² - x + 1 = 0
Jawab :
x³ - x² - x + 1 = 0
x² (x - 1) - (x - 1)= 0
x² - 1)(x - 1) = 0
x - 1)(x + 1) ( x - 1) = 0
x = 1 atau x = -1 atau x = 1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 1}

3.)    Himpunan penyelesaian dari persamaan x³ - 2x² - x = 0 adalah
Jawab :
x³ - 2x² - x = 0
x(x² - 2x - 1) = 0
x = 0 atau x² - 2x - 1 = 0
Untuk bentuk x² - 2x - 1 = 0 bisa kita selesaiakan dengan rumus ABC

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

DAFTAR PUSTAKA:

http://p4tkmatematika.org/file/ARTIKEL/Artikel%20Matematika/persamaan%20kubik%20al-khayyam_sumardyono_marfuah.pdf

http://serunaihati.blogspot.com/2012/11/biografi-umar-khayyam-ahli-matematika.html

http://ratmanboomen.blogspot.com/2009/02/11-umar-khayyam.html

http://web-matematika.blogspot.com/2011/03/persamaan-kubik.html

-S E K I A N-

“Semoga Bermanfaat !”

Menahan Demi Kamu ~

Aku kesal, aku benci, aku marah
sama kamu...
Kamu yang "atos" sama aku,
Kamu yang terlalu acuh sama aku,
Dan kamu yang gak ngehargain perasaanku..
Tapi...
Dibalik rasa kesalku,
Dibalik rasa benciku,
Dan dibalik rasa marahku,
Aku masi menyimpan rasa cintaku ke kamu..
Aku harus menahan..
Menahan rasa sayangku,
Menahan rasa rinduku sama kamu..
Aku menahan, terus menahan...
Menahan demi kamu, sayang..
Kamu yang tertawa riang tanpa aku,
Kamu yang tersenyum bahagia tanpa aku,
Dan kamu yang merasa have fun tanpa aku..
Karena aku tau, I'm nothing for you....

How Can I Do for Us?

Aku diem disini
bukan aku tak peduli,
bukan aku tak sayang lagi,
tapi aku diem disini 
untuk melihat seberapa berartinya aku buat kamu
untuk melihat seberapa pedulinya kamu sama aku.

Dan sekarang aku tau,
seberapa acuhnya kamu sama aku,
dan seberapa tak pudulinya kamu sama aku.
Aku tau, aku mengerti, dan aku coba pahami. :'

Meskipun perih,
tapi aku belajar ikhlas dan berbesar hati.
Siap untuk segala kemungkinan yang akan terjadi.
Karena aku tau, terlalu rumit perbedaan kita.
Mungkin sebab itulah kamu seperti ini, ragu akan langkahmu.
atau mungkin kamu memang sengaja memperlakukanku seperti ini?
Sebab sebenarnya kamu memang tak sayang sama aku?
Kamu masih belum bisa move on?
Paling perih kalo inget sama kalimat itu sayang,
menyadari bahwa kamu mempermainkanku.
How can I do for us?? :'(

Pemain Ulung ~

Sangat cuek

Sangat apa adanya

Gak mau tau

Gak suka kepo

Gak pedulian

Gak suka memaksa

Gak perhatian

Gak pengertian

Gak mau ambil pusing

Terlalu pasrah

Bertindak sesukanya...

Itulah dia si Pemain Ulung ~

ANGKA 0

Ratusan tahun yang lalu, manusia hanya mengenal 9 lambang bilangan yakni 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, dan 9. Kemudian, Al-Khawarizmi memperkenalkan kepada dunia ilmu pengetahuan tentang angka 0 (nol) yang dalam bahasa Arab disebut sifr. Angka nol baru dikenal dan dipergunakan orang Barat sekitar 250 tahun setelah ditemukan oleh al-Khawarizmi. Sebelumnya para ilmuwan mempergunakan abakus, semacam daftar yang menunjukkan satuan, puluhan, ratusan, ribuan, dan seterusnya, untuk menjaga agar setiap angka tidak saling tertukar dari tempat yang telah ditentukan dalam hitungan. Pada mulanya angka nol ditulis dengan menggunakan spasi, misal; seribu satu ditulis 1  1. Kemudian sebelum menjadi angka nol seperti saat ini, nol disimbolkan dengan titik (.) oleh bangsa Arab.

Waktu itu bilangan nol hanya sebagai lambang. Dalam zaman modern, angka nol digunakan tidak saja sebagai lambang, tetapi juga sebagai bilangan yang turut serta dalam operasi matematika. Kini, penggunaan bilangan nol telah menyusup jauh ke dalam sendi kehidupan manusia. Sistem berhitung tidak mungkin lagi mengabaikan kehadiran bilangan nol, sekalipun bilangan nol itu membuat kekacauan logika.

Angka Nol memang angka yang misteri , beberapa fakta dari angka nol adalah :

1. Semua angka disertai oleh angka nol jika dilihat dari bilangan desimal. Misal 0,o. 0,1,.0,2. 1,0,4, 0 dsb. Angka nol adalah angka diam namun bergerak jika dilihat dari deretan angka desimal ini.

2. Berapapun angka itu jika dikalikan dengan angka nol hasilnya adalah nol. Artinya angka nol mampu menetralkan / mensucikan angka.

3. Angka nol bukanlah angka awal dan juga bukan angka akhir. Jika angka 1- 9 kita bisa menyebut angka satu lebih kecil/ lebih awal dari 2 dsb, namun jika angka nol ia menyertai semua angka. Tidak ada angka yang tidak disertai angka nol, misal kita sebut 9 , di lihat dari bilangan desimal dia adalah 9,00… dsb.

4. Tidak terikat namun melekat dengan semua angka, meliputi segala angka.
Karena sangat kecil tidak bisa lagi disebut atau tidak terhingga dan pada akhirnya dianggap nol saja. Tetapi, ide ini ternyata sempat membingungkan karena jika bilangan tidak terhingga kecilnya dianggap nol maka berarti nol adalah bilangan terkecil? Padahal, nol mewakili sesuatu yang tidak ada?

5. Semua bilangan yang dikalikan oleh angka nol akan menjadi nol

6. Semua bilangan yang ditambahkan angka nol akan tetap menjadi bilangan itu sendiri

7. bilangan yang dibagi nol akan menghasilkan bilangan yang tak terdefinisi

itulah uniknya angka nol dari matematika, masih banyak yang bisa kita gali dari ilmu matematika.

sumber : http://www.unic29.com/15363/misteri-dari-angka-0/ dengan berbagai perubahan.

mathematic for me: SEJARAH MATEMATIKA

mathematic for me: SEJARAH MATEMATIKA: NAMA : MEI MUTLIMAH NIM : 10305144043 MATEMATIKA SWADANA 2010 ( http://me i mutlimah.blogspot.com ) 27 Maret 2012 Mempelajari sejarah m...