UMAR KHAYYAM

BIOGRAFI:

Adalah Umar Khayyam, seorang yang dikenal sebagai ilmuwan yang mempunyai kemampuan bersyair yang tinggi. Siapakah dia sebenarnya? Nama lengkapnya adalah Ghiyatuddin Abul Fath Umar Ibnu Ibrahim Al Khayyami. Khayyam artinya adalah pembuat kemah. Ia lahir di Naisaphur, ibukota provinsi Khurasan pada sekitar tahun 429 H / 1038 M. Dia dikenal oleh khalayak sebagai orang Persia, sehingga terkenal dengan sebutan "Penyair Persia". Tetapi, nenek moyangnya adalah orang Arab dari suku Khayyami yang bermigrasi (pindah) dan menetap di Persia. Hidupnya al-Khayyam sezaman dengan penguasa Nizham Al Mulk Tusi.

                Al-Khayyam sebenarnya seorang matematikawan (ahli matematika) yang mempunyai bakat syair tinggi. Oleh karenanya, selain menekuni matematika, ia juga membuat syair, yang justru karena syair itulah ia lebih terkenal di Barat sebagai seorang penyair kawakan dari Timur (Persia). Setelah menulis kitabnya dalam bidang matematika dan syair, serta mengarungi kehidupannya, akhirnya ia meninggal di Naishapur sekitar tahun 517 H / 1123 M. Di Naishapur inilah ia dimakamkan, dan banyak orang dari berbagai tempat menziarahi pusaranya.

            Sejak awal, al-Khayyam mengenyam pendidikannya di Naishapur, tanah kelahirannya. Namun, gairah belajarnya tak terbendung hingga ia menuntut ilmu ke beberapa sekolah terkenal di di Bukhara, Balkh, Samarqand, dan Isfahan. Akhirnya, dia tinggal di Naishapur dan Samarqand dalam hampir seluruh usia hidupnya hingga kewafatannya di Naishapur.

Al-Khayyam dikenal sebagai ilmuwan cerdas abad pertengahan. Ia memiliki nama besar di bidang matematika, astronomi, dan sastra. Sehubungan dengan itu, ia mendapat julukan Tent Maker dari para ilmuwan semasanya.

Kecemerlangan nama Umar Khayyam menarik perhatian Sultan Malik Syah. Pada suatu ketika, Sultan menawarkan kedudukan tinggi di istana pada al-Khayyam, namun ditolaknya dengan sopan. Al-Khayyam lebih memilih menekuni dunia ilmu pengetahuan dari pada menjadi pejabat. Akhirnya, al-Khayyam pun diberi fasilitas oleh Sultan. Ia diberi dana yang besar untuk membiayai penelitian khususnya di bidang matematika dan astronomi.

PENEMUAN:

Dalam bukunya, “Risalah fi al-Barshin ‘ala Masa’il al-Jabr wal-Muqabala”, ia memberi klasifikasi persamaan-persamaan menurut derajat dan faktor-faktornya hingga 25 jenis. Sayang, ilmuwan Barat menghubungkan klasifikasi ini pertama kali pada Simon Stevin (1548-1620 M) yang datang belakangan setelah al-Khayyam. Selain itu, sejarawan B. Boyer mengakui pula bahwa Khayyam-lah yang mula-mula memisahkan antara aljabar dengan geometri di dalam kajiannya.

Seperti juga pendahulu-pendahulunya, ia pun menyelesaikan persamaan pangkat dua baik secara aritmetik maupun geometrik. Untuk persamaan pangkat tiga diselesaikan secara geometrik dengan menggunakan perpotongan konik-konik (irisan kerucut). Walaupun metode yang serupa juga digunakan Menaechmus, Archimedes, juga al-Haitham, namun al-Khayyam dipuji karena mampu menggeneralisasikan metodenya tersebut untuk semua persamaan pangkat tiga (yang berakar positif), yang berbentuk . Dari sini, ia menciptakan fenomena absis (x) untuk akar-akarnya, sehingga ada yang menyebut ia-lah sebenarnya peletak dasar geometri analitik, jauh berabad-abad sebelum muncul Rene Descartes (1005- 1060).

Untuk persamaan kubik yang umum, ia menduga bahwa solusi secara aritmetika tidaklah mungkin, sehingga ia hanya memberi penyelesaian secara geometris. Sedang untuk persamaan pangkat lebih tinggi, ia tidak tertarik untuk mengkajinya karena ruang yang kita tempati tidak lebih dari tiga dimensi. Sementara pendahulunya, Abu al-Wafa` telah memberikan penyelesaian geometris untuk beberapa persamaan kuartik (pangkat empat). Dikatakan oleh al-Khayaam: “What is called square-square by algebraists in continuous magnitude is, a theoretical fact. It is does not exist in reality in anyway”.

Walaupun penggunaan irisan kerucut untuk menyelesaikan persamaan kubik telah digunakan oleh Menaechmus, Archimedes, & alhazen (al-Haytham), tetapi al-Kayyam mengambil langkah yang penting dengan menggeneralisasikan metodenya untuk semua persamaan kubik (yang memiliki akar-akar positif).

Berikut ini salah satu halaman dari karya al-Khayyam tentang persamaan kubik.

Persamaan kubik al-Khayyam adalah: x + b x + a = cx , dimana a, b, c, x dipikirkan sebagai panjang beberapa ruas garis. Lukisannya dikerjakan sebagai berikut :

(i)                 Lukis panjang ruas garis AB =  a^2/b^2, dengan melukis terlebih dahulu z = a^2/b  , baru kemudian AB = az/b

 

(ii)               Ikutilah beberapa langkah berikut.

·         Lukis AC = AB + BC, dengan BC = c

·         Lukis setengah lingkaran dengan AC diameter dan buat garis tegak lurus AC di B yang memotong setengah lingkaran di D.

·         Tandai titik E di BD setengah BE =b.

·         Lewat E buat garis EF sejajar AC.

·         Temukan titik G di BC sedemikian hingga (BG).(ED) = (BE).(AB)

·         Temukan titik H sedemikian hingga terbentuk persegi panjang BGHD

·         Melewati titik H, lukis hiperbol ortogonal dengan asimtot EF dan ED (dapat dilukis titik demi titik) yang memotong setengah lingkaran dddi J.

·         Sejajar dengan DB, tarik garis melalui J yang memotong EF di K dan BC di L.

·         Dapat ditunjukkan bahwa panjang ruas garis BL adalah salah satu akar positif dari persamaan kubik tersebut.

Bukti ditunjukkan sebagai berikut:

(1)    Menurut sifat Hiperbol ortogonal : (Dengan menganggap garis EF = sumbu x dan garis

 BD = sumbu y)

, karena dan maka

sedang , sehingga

(2)    , atau luas EKJN = luas ABEP sehingga

…. (i), .  luas ALKP = luas BLJN

(3)    Pada lingkaran berlaku :  … (ii).

(4)    Dari (i) diperoleh:  dan dari (ii) diperoleh:   sehingga:

    atau

(5)   

Jadi BL adalah sebuah akar dari persamaan kubik:

Perlu dicatat disini bahwa penyelesaian geometris  yang diberikan matematikawan Yunani untuk persamaan kubik, koefisien-koefisien berupa ruas-ruas garis, sedangkan al-Khayyam telah menulisnya sebagai bilangan-bilangan yang spesifik. Ini merupakan kecenderungan matematikawan muslim untuk menghilangkan perbedaan antara aljabar numerik dan aljabar geometris. Artinya bahwa ada kaitan antara aljabar numerik dan aljabar geometris.

Dalam kajiannya tentang persamaan kubik, sebenarnya ia telah memberikan landasan bagi perkembangan geometri analitik, yang dimunculkan kembali oleh Rene Descertes (1596-1650). Dalam mencari penyelesaian persamaan kubik tersebut, al-Khayyam telah memunculkan gagasan absis (x) sebagai titik potong antara lingkaran dengan hiperbol orthogonal, untuk menyelesaikan persamaan kubiknya. (perhatikan lagi soal kubik diatas, x = BL). Dengan demikian, al-Khayyam adalah perintis dan peletak dasar gagasan geometri analitik. Hanya disini al-Khayyam tidak menonjolkan penggunaan sumbu-sumbu koordinat dalam penyelesaian persamaan kubiknya.

PENERAPAN:

Meskipun belum dapat membuat rumus (baku) untuk mencari hasil dari suatu persamaan dua (kuadrat), tiga dan pangkat lebih tinggi, tapi prestasi ini mampu menjadi batu loncatan bagi perkembangan matematika berikutnya terutama Lagrange. Dan setelah mengalami perkembangannya, persamaan kubik ini dapat di simpulkan:

ax³ + bx² + cx + d = 0
dengan a tidak nol

Ada 3 cara untuk menyelesaikannya, yaitu:

1.      Difaktorkan

2.      Disederhanakan menjadi bentuk persamaan kuadrat

3.      Menggunakan rumus

Contoh:

1.)    Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ - x² - 6x = 0

Jawab :

x³ - x² - 6x = 0
x(x² - x - 6) = 0
x(x - 3)(x + 2) = 0
x = 0 atau x = 3 atau x = -2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 0, 3}

2.)    Tentukan himpunan penyelesaian dari x³ - x² - x + 1 = 0
Jawab :
x³ - x² - x + 1 = 0
x² (x - 1) - (x - 1)= 0
x² - 1)(x - 1) = 0
x - 1)(x + 1) ( x - 1) = 0
x = 1 atau x = -1 atau x = 1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 1}

3.)    Himpunan penyelesaian dari persamaan x³ - 2x² - x = 0 adalah
Jawab :
x³ - 2x² - x = 0
x(x² - 2x - 1) = 0
x = 0 atau x² - 2x - 1 = 0
Untuk bentuk x² - 2x - 1 = 0 bisa kita selesaiakan dengan rumus ABC

Jadi himpunan penyelesaiannya adalah

DAFTAR PUSTAKA:

http://p4tkmatematika.org/file/ARTIKEL/Artikel%20Matematika/persamaan%20kubik%20al-khayyam_sumardyono_marfuah.pdf

http://serunaihati.blogspot.com/2012/11/biografi-umar-khayyam-ahli-matematika.html

http://ratmanboomen.blogspot.com/2009/02/11-umar-khayyam.html

http://web-matematika.blogspot.com/2011/03/persamaan-kubik.html

-S E K I A N-

“Semoga Bermanfaat !”