BIOGRAFI:
Adalah Umar Khayyam,
seorang yang dikenal sebagai ilmuwan yang mempunyai kemampuan bersyair yang
tinggi. Siapakah dia sebenarnya? Nama lengkapnya adalah Ghiyatuddin Abul Fath
Umar Ibnu Ibrahim Al Khayyami. Khayyam artinya adalah pembuat kemah. Ia lahir
di Naisaphur, ibukota provinsi Khurasan pada sekitar tahun 429 H / 1038 M. Dia
dikenal oleh khalayak sebagai orang Persia, sehingga terkenal dengan sebutan
"Penyair Persia". Tetapi, nenek moyangnya adalah orang Arab dari suku
Khayyami yang bermigrasi (pindah) dan menetap di Persia. Hidupnya al-Khayyam
sezaman dengan penguasa Nizham Al Mulk Tusi.
Al-Khayyam sebenarnya seorang matematikawan (ahli matematika)
yang mempunyai bakat syair tinggi. Oleh karenanya, selain menekuni matematika,
ia juga membuat syair, yang justru karena syair itulah ia lebih terkenal di
Barat sebagai seorang penyair kawakan dari Timur (Persia). Setelah menulis
kitabnya dalam bidang matematika dan syair, serta mengarungi kehidupannya,
akhirnya ia meninggal di Naishapur sekitar tahun 517 H / 1123 M. Di Naishapur
inilah ia dimakamkan, dan banyak orang dari berbagai tempat menziarahi
pusaranya.
Sejak
awal, al-Khayyam mengenyam pendidikannya di Naishapur, tanah kelahirannya.
Namun, gairah belajarnya tak terbendung hingga ia menuntut ilmu ke beberapa
sekolah terkenal di di Bukhara, Balkh, Samarqand, dan Isfahan. Akhirnya, dia
tinggal di Naishapur dan Samarqand dalam hampir seluruh usia hidupnya hingga
kewafatannya di Naishapur.
Al-Khayyam dikenal sebagai ilmuwan cerdas abad
pertengahan. Ia memiliki nama besar di bidang matematika, astronomi, dan
sastra. Sehubungan dengan itu, ia mendapat julukan Tent Maker dari para
ilmuwan semasanya.
Kecemerlangan nama Umar Khayyam menarik
perhatian Sultan Malik Syah. Pada suatu ketika, Sultan menawarkan kedudukan
tinggi di istana pada al-Khayyam, namun ditolaknya dengan sopan. Al-Khayyam lebih memilih menekuni dunia ilmu pengetahuan
dari pada menjadi pejabat. Akhirnya, al-Khayyam
pun diberi fasilitas oleh Sultan. Ia diberi dana yang besar untuk membiayai
penelitian khususnya di bidang matematika dan astronomi.
PENEMUAN:
Dalam bukunya, “Risalah fi al-Barshin ‘ala
Masa’il al-Jabr wal-Muqabala”, ia memberi klasifikasi persamaan-persamaan
menurut derajat dan faktor-faktornya hingga 25 jenis. Sayang, ilmuwan Barat
menghubungkan klasifikasi ini pertama kali pada Simon Stevin (1548-1620 M) yang
datang belakangan setelah al-Khayyam. Selain itu, sejarawan B. Boyer mengakui
pula bahwa Khayyam-lah yang mula-mula memisahkan antara aljabar dengan geometri
di dalam kajiannya.
Seperti juga pendahulu-pendahulunya, ia pun
menyelesaikan persamaan pangkat dua baik secara aritmetik maupun geometrik.
Untuk persamaan pangkat tiga diselesaikan secara geometrik dengan menggunakan
perpotongan konik-konik (irisan kerucut). Walaupun metode yang serupa juga
digunakan Menaechmus, Archimedes, juga al-Haitham, namun al-Khayyam dipuji
karena mampu menggeneralisasikan metodenya tersebut untuk semua persamaan
pangkat tiga (yang berakar positif), yang berbentuk
. Dari
sini, ia menciptakan fenomena absis (x) untuk akar-akarnya, sehingga ada yang
menyebut ia-lah sebenarnya peletak dasar geometri analitik, jauh berabad-abad
sebelum muncul Rene Descartes (1005- 1060).
Untuk persamaan kubik yang umum, ia menduga
bahwa solusi secara aritmetika tidaklah mungkin, sehingga ia hanya memberi penyelesaian
secara geometris. Sedang untuk persamaan pangkat lebih tinggi, ia tidak
tertarik untuk mengkajinya karena ruang yang kita tempati tidak lebih dari tiga
dimensi. Sementara pendahulunya, Abu al-Wafa` telah memberikan penyelesaian
geometris untuk beberapa persamaan kuartik (pangkat empat). Dikatakan oleh
al-Khayaam: “What is called square-square
by algebraists in continuous magnitude is, a theoretical fact. It is does not
exist in reality in anyway”.
Walaupun penggunaan irisan kerucut untuk menyelesaikan
persamaan kubik telah digunakan oleh Menaechmus, Archimedes, & alhazen
(al-Haytham), tetapi al-Kayyam mengambil langkah yang penting dengan
menggeneralisasikan metodenya untuk semua persamaan kubik (yang memiliki
akar-akar positif).
Berikut ini salah satu halaman dari karya al-Khayyam tentang
persamaan kubik.
Persamaan
kubik al-Khayyam adalah: x + b x + a = cx , dimana a, b, c, x dipikirkan
sebagai panjang beberapa ruas garis. Lukisannya dikerjakan sebagai berikut :
(i)
Lukis panjang ruas garis AB
=
a^2/b^2, dengan melukis terlebih dahulu z = a^2/b
, baru kemudian AB = az/b
(ii)
Ikutilah
beberapa langkah berikut.
·
Lukis
AC = AB + BC, dengan BC = c
·
Lukis
setengah lingkaran dengan AC diameter
dan buat garis tegak lurus AC di B yang memotong setengah lingkaran di D.
·
Tandai
titik E di BD setengah BE =b.
·
Lewat
E buat garis EF sejajar AC.
·
Temukan
titik G di BC sedemikian hingga (BG).(ED) = (BE).(AB)
·
Temukan
titik H sedemikian hingga terbentuk persegi panjang BGHD
·
Melewati
titik H, lukis hiperbol ortogonal dengan asimtot EF dan ED (dapat dilukis titik
demi titik) yang memotong setengah lingkaran dddi J.
·
Sejajar
dengan DB, tarik garis melalui J yang memotong EF di K dan BC di L.
·
Dapat
ditunjukkan bahwa panjang ruas garis BL adalah salah satu akar positif dari
persamaan kubik tersebut.
Bukti ditunjukkan sebagai berikut:
(1)
Menurut sifat Hiperbol
ortogonal : (Dengan menganggap garis EF = sumbu x dan garis
BD = sumbu y)
, karena
dan
maka
sedang
, sehingga
(2)
, atau luas EKJN = luas ABEP sehingga
…. (i), . luas ALKP = luas BLJN
(3)
Pada lingkaran berlaku :
… (ii).
(4)
Dari (i) diperoleh:
dan dari (ii) diperoleh:
sehingga:
atau
(5)
Jadi BL adalah sebuah akar dari persamaan kubik:
Perlu dicatat disini
bahwa penyelesaian geometris yang
diberikan matematikawan Yunani untuk persamaan kubik, koefisien-koefisien
berupa ruas-ruas garis, sedangkan al-Khayyam telah menulisnya sebagai
bilangan-bilangan yang spesifik. Ini merupakan kecenderungan matematikawan
muslim untuk menghilangkan perbedaan antara aljabar numerik dan aljabar
geometris. Artinya bahwa ada kaitan antara aljabar numerik dan aljabar
geometris.
Dalam kajiannya
tentang persamaan kubik, sebenarnya ia telah memberikan landasan bagi
perkembangan geometri analitik, yang dimunculkan kembali oleh Rene Descertes
(1596-1650). Dalam mencari penyelesaian persamaan kubik tersebut, al-Khayyam
telah memunculkan gagasan absis (x)
sebagai titik potong antara lingkaran dengan hiperbol orthogonal, untuk
menyelesaikan persamaan kubiknya. (perhatikan lagi soal kubik diatas, x =
BL). Dengan demikian, al-Khayyam adalah perintis dan peletak dasar gagasan
geometri analitik. Hanya disini al-Khayyam tidak menonjolkan penggunaan
sumbu-sumbu koordinat dalam penyelesaian persamaan kubiknya.
PENERAPAN:
Meskipun belum dapat membuat rumus
(baku) untuk mencari hasil dari suatu persamaan dua (kuadrat), tiga dan pangkat
lebih tinggi, tapi prestasi ini mampu menjadi batu loncatan bagi perkembangan
matematika berikutnya terutama Lagrange. Dan setelah mengalami perkembangannya,
persamaan kubik ini dapat di simpulkan:
ax3 + bx2 + cx
+ d = 0
dengan a tidak nol
dengan a tidak nol
Ada 3 cara untuk menyelesaikannya, yaitu:
1. Difaktorkan
2. Disederhanakan
menjadi bentuk persamaan kuadrat
3. Menggunakan
rumus
Contoh:
1.) Tentukan himpunan penyelesaian dari x3
- x2 - 6x = 0
Jawab :
x3 - x2 - 6x = 0
x(x2 - x - 6) = 0
x(x - 3)(x + 2) = 0
x = 0 atau x = 3 atau x = -2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 0, 3}
Jawab :
x3 - x2 - 6x = 0
x(x2 - x - 6) = 0
x(x - 3)(x + 2) = 0
x = 0 atau x = 3 atau x = -2
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-2, 0, 3}
2.) Tentukan himpunan penyelesaian dari x3
- x2 - x + 1 = 0
Jawab :
x3 - x2 - x + 1 = 0
x2 (x - 1) - (x - 1)= 0
x2 - 1)(x - 1) = 0
x - 1)(x + 1) ( x - 1) = 0
x = 1 atau x = -1 atau x = 1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 1}
Jawab :
x3 - x2 - x + 1 = 0
x2 (x - 1) - (x - 1)= 0
x2 - 1)(x - 1) = 0
x - 1)(x + 1) ( x - 1) = 0
x = 1 atau x = -1 atau x = 1
Jadi himpunan penyelesaiannya adalah {-1, 1}
3.) Himpunan penyelesaian dari persamaan
x3 - 2x2 - x = 0 adalah
Jawab :
x3 - 2x2 - x = 0
x(x2 - 2x - 1) = 0
x = 0 atau x2 - 2x - 1 = 0
Untuk bentuk x2 - 2x - 1 = 0 bisa kita selesaiakan dengan rumus ABC
Jawab :
x3 - 2x2 - x = 0
x(x2 - 2x - 1) = 0
x = 0 atau x2 - 2x - 1 = 0
Untuk bentuk x2 - 2x - 1 = 0 bisa kita selesaiakan dengan rumus ABC
DAFTAR
PUSTAKA:
http://web-matematika.blogspot.com/2011/03/persamaan-kubik.html
-S
E K I A N-
“Semoga
Bermanfaat !”
